Her kommer årets første egg. Det kommer en hver dag til og med tirsdag, totalt fire egg. Du kan tenke lenge og vel på hvert egg, for løsningsforslagene kommer ikke før 2. påskedag. Send inn svar som kommentar, det blir poengutdeling i etterkant og fint web-diplom til vinneren. Kommentarene forblir skjult til løsningen er offentliggjort.
Her kan du forresten se påskenøttene fra i fjor, hvis du vil tygge litt på dem også. Begynn nederst på siden.
Nissemanns Påskeegg 2009
(med hardt skall)
Egg 1 - Silas og kaninene
Dette egget er valgt ut med to barn i tankene: Silje og Tobias. De har begge fått en kanin, og deretter en til. Silje fikk ca 16 til, før pappa begynte å snekre skillevegger i buret. Tobias har nettopp fått nummer to... Jeg tar ikke æren for dette egget, den har noen andre funnet på. Mer om det får du vite sammen med løsningsforslaget 2. påskedag.
Silas er glad, for han har fått et kaninpar. Han fikk dem 1. januar i år, da var de nyfødte. De ble kjønnsmodne en måned senere, den 1. februar, og parrer seg umiddelbart. Drektighetstiden er en måned, så 1. mars ble to nye kaninunger født - da har han to par. Nå begynner det for alvor...
1. april får det første paret et nytt kull med unger, da er også kull nr. 2 kjønnsmodne - og de går rett inn i produksjonen. 1. mai blir det derfor født to nye par, og Silas har fått 10 kaniner til sammen.
Hvor mange kaniner har han på nyttårsaften dette året?
Premisser: Alle måneder har like mange dager, kaninene får alltid to unger, det er alltid like mange hunner som hanner, innavl finnes ikke og kaniner dør aldri.
16 kommentarer:
På nyttårsaften det året var 144 kaniner som hoppet rundt hos Silas. Dersom det var noko plass å hoppe på. tenker at det begynner å bli trangt om plassen no. Tallet mitt baserer seg sjølvsagt på at det fremdeles er nyttårsaften før rakettoppskytingen (31.12).
Er ei stund siden eg lekte meg med å lage slike formler. Takk for ein fin start på dagen:-)
Kaniner dør aldri?
OK, men siden Silas har en praktisk anlagt pappa, vil han alltid ha to kaniner av ulikt kjønn. Og så kommer han nok til å bli temmelig lei av kaninragu og kaninpizza når de kommerr til nyttårsaftenen...
Var litt vrien den der:) Jeg tar en sjanse på 372 kaniner på nyttårsaften.
Jeg har sluppet igjennom Dnort sitt "tøyse-svar", men har også fått to svar som har kommet frem til et tall. Hvert sitt tall faktisk, men det er ikke så nøye... :)
Fortsett å sende inn svar, alle svarene pluss mitt løsningsforslag blir publisert mandag 2. påskedag.
Hva med enhjørninger, finnes dem?
I følge mine beregninger har han (hun? var kjønnskiftet underveis ett uhell eller ment for å forvirre oss ekstra?) 288 kaniner på nyttårsaften.
110 av dem er kaninbarn (under en måned gamle), 68 er virile kaninungdom - hvorav 34 er klare for å føde dagen etter, og 110 er godt voksne (to måneder eller mer i denne sammenhengen) - 55 av disse er også gravide og vil føde dagen etter.
Kjapt regnet og absolutt ikke dobbeltsjekket kommer jeg fram til 55(2^2) + 32(2), noe som skulle gi 288 kaniner. Skummelt...
...og 1. januar fødes det 178 kaniner til, slik at tallet er 466! huttetu!
Stoppe nå.
Jeg tenker som så at det er fint av vi bare har en kanin. Vel er hun utrolig søt og skjønn og snill og intelligent, og alt slik en dame bør og skal være, men noe mannfolk får hun aldri. Aldri. Hun kan få seg en venninne, og de kan gjerne få et forhold, så lenge det ikke blir snakk om noe donor og slikt.
Nissemann, etter å ha tenkt langt og lenger enn langt, og brukt rutepapir og penn, så tror jeg, jo, jeg og mine små grå tror, at du til nyttår sitter igjen med 94 kaniner i stort og smått. Tror jeg da. Det første paret får 20 unger. De som er født i november rekker ikke å få unger før nyttår, og de som er født i desember er ikke kjønnsmodne ennå.
De som er født i mars klarer å produsere 16 unger, og så går det slag i slag nedover. Oktoberparet har fått et kull.
Sånn tror jeg det er. Enkel i tankegangen min.
Tror det oppstod en feil i sted - jeg prøver igjen: 144 kaninpar, 288 kaniner.
FIBONACCHI!
nyfødte + kjønnsmodne (par)
jan 1+0
feb 0+1
mar 1+1
apr 1+2
mai 2+3
jun 3+5
jul 5+8
aug 8+13
sep 13+21
okt 21+34
nov 34+55
des 55+89
så, trettiførste desember har silas 55+89=144 kaninpar, det vil si 288 kaniner.
hvorav 89 er høygravide og 110 er på randen av å miste jomfrudommen.
kaniner never dies. det er rock'n'roll & kaniner.
(antar ut fra ditt eget eksempel at du med 'innavl finnes ikke' mener at innavl ikke er et problem man trenger å ta hensyn til. litt som i adam og evas dager. menneskeheten kunne jo ikke eksistert med dagens incestlovgivning.)
En liten påskekylling (vel, ikke så veldig liten egentlig) pep noe om at det var mattemoro på gang her borte, og da er jeg jo ikke vond å be.
Vi lar n betegne månedene (dvs, 1 = 1. januar, 2 = 1. februar osv) og vi sier at K(n) er antall kaniner, k(n) er antall kjønnsmodne kaniner og f(n) er antall nyfødte kaniner, ved tiden n, så er K(n)=k(n)+f(n) til enhver tid. Dessuten har vi k(n+1)=K(n), og f(n+1)=k(n)=K(n-1), forutsatt at kaninene ikke spiser p-piller (det sa du jo ikke noe om), så K(n+1)=K(n)+K(n-1).
Dette er en fibonaccifølge! Men ettersom utgangsverdien er f(1)=2, blir summen av fibonaccifølgen ganget med to.
For å regne ut den 12te verdien (som vi er ute etter siden vi ikke kommer til forøkelsen 1. januar) kan man bruke formelen her, skrive et dataprogram, spørre en nerd, skrive ned hele følgen, google fibonaccifølge, hacke Nissemanns blogger-konto og se på det ikke-gjennomsluppede svaret, eller finne på noe annet smart -- det 12te fibonaccitallet er 144, og dermed er antall kaniner 30. desember 288.
Forutsatt at ingen av kaninene blir kidnappede av ensomme matematikere, that is.
60 og venter 12 nye pr. januar 2010.
Når oppgaven forutsetter at innavl aldri finnes, kan jeg ikke se at det blir flere kaniner enn det opprinnelige paret og deres første generasjon med unger. Altså 22 kaniner til sammen, siden de får et nytt par den 1. i måneden f.o.m. 1.3 til og med 1.12. I alt 10 ungepar. (1.1 faller utenfor oppgaven)
Men la oss se bort fra denne innavl-detaljen, og finne det som oppgaven mest sannsynlig vil frem til:
Siden det er nyttårsaften som teller her, og ikke 1.januar, så vil antall kaniner være det samme som 1.desember. Jeg lar det være utgangspunkt.
1.generasjonskaninene vil komme fra og med 1.3 i antallet 2-2-2-2-2-2-2-2-2-2. I alt 20 1.generasjonskaniner.
2.generasjonskaninene vil komme fra og med 1.5, som oppgaven antyder), i antallet 2-4-6-8-10-12-14-16. I alt 72 2.generasjonskaniner.
3.generasjonskaninene vil komme fra og med 1.7, i antallet 2-6-12-20-30-42. I alt 112 3.generasjonskaniner.
4.generasjonskaninene vil komme fra og med 1.9, i antallet 2-8-20-40. I alt 70 4.generasjonskaniner.
5.generasjonskaninene vil komme fra og med 1.11, i antallet 2-10. I alt 12 5.generasjonskaniner.
6.generasjonskaninene vil ikke komme før 1.1, altså dagen etter at oppgaven slutter.
Totalt vil man da ende opp med 288 kaniner i desember.
Påskeegg nummer 1 – forslag til løsning
Vi teller antall par i stedet for å telle hver enkelt kanin.
1. januar: 1 par
1. februar: 1 par
1. mars: 2 par
1. april: 3 par
1. mai: 5 par
Vi ser at antallet den første i måneden er lik summen av de to forrige månedene. Dette fordi den 1. mai har vi de tre parene som vi hadde 1. april, pluss ungekullene til de to som vi hadde 1. mars. Dermed blir fortsettelsen på denne tallrekken: 8 (=5+3), 13, 21, 34, 55, 89, 144. 144 kaninpar 1. desember, det er også antallet den 31. desember. Men i tillegg til de 288 kaninene er det 178 til som skal fødes neste dag...
Bakgrunn
Denne tallrekken har du kanskje sett før, den er kjent som Fibonacci-tallene. Du finner hvert nye tall ved å summere de to foregående. Fibonacci levde på 1200-tallet i Italia, men tallrekken ble "oppdaget" allerede for 2.500 år siden, i India (så klart). Jeg har ”stjålet” hele kaninoppgaven fra Leonardo Fibonacci.
Les mer om Fibonaccitallene på wikipedia
Fibonaccitallene er så fascinerende at jeg kanskje plukker dem opp igjen i både en og to nøtter seinere – det finnes jo både planteoppgaver og kunst/estetikknøtter som spiller på dem…
Poengutdeling
Så poengutdelingen. Tre poeng for helt rett med god forklaring, to poeng for mye bra og ett poeng for godt begynt. I tillegg gis det tøysepoeng, og dem går det 100 av på et ekte matematikkpoeng.
Roger – 1 poeng for å komme frem til hvor mange hanner (eller hoer) det er den 1. desember.
Dnort – ett tøysepoeng.
Ceclie – 0 poeng for å gjette. :)
Minneapolise – helt korrekt, 3 poeng. Jeg er en enhjørning.
Harald – helt korrekt, 3 poeng. Skjønner ikke helt hvordan du har kommet frem til det med ditt regnestykke, men skal sjekke det en gang. Sikkert et triks fra Japan… Skummelt ja! :)
Vibeke – godt begynt, 1 poeng. Jeg liker måten du tenker på. Du har vel tatt noe sånt som 20 + 16 + 14 + 12 osv. Bra gjettet, men feil – økningen er enda mer eksplosjonsartet. Sjekk svaret til Truls, han har begynt som deg – men regnet med noen flere generasjoner.
Saccarina – bra du prøvde en gang til. Helt korrekt, 3 poeng.
Esquil – helt korrekt, 3 poeng. Du kjente også igjen Fibonacci, ikke overraskende – din bakgrunn tatt i betraktning. Gamle mattenerden som utga egne kompendier på NTH… :) Riktig oppfattet angående innavl, jeg mente selvsagt at det ikke var noe vi skulle ta hensyn til. Interessant betraktning om Adam og Eva, jeg er enig.
Kamikaze – Helt riktig, 3 poeng. Her er det mattemoro hver påske – tradisjon fra i fjor. Bra svar!
Simen – Beklager, null poeng. Du får vente og se hva som skjer ute i kaninburet i hagen, gi tilbakemelding om ett år. :)
Truls – Grundig og godt svar, helt korrekt – 3 poeng. Artig innfallsvinkel du har valgt, ved å summere pr. generasjon. Minner om Vibeke sitt svar, bortsett fra at hun bare har tatt med 1. og 2. generasjons kaniner (20 + 72 + 2 = 94)
Takk for din deltagelse! Kjekt at så mange matematikknerder har sittet inne i påsken og knekket påskeegg!
Har da virkelig aldri hørt om noen Fibonacci. Men jeg skal da vedde på at de mattenerdene aldri har hørt om masser av det jeg har hørt om. Så det så.
Desverre brukte jeg opp all tankevirksomheten min på dette regnestykket og glemte helt å legge inn svar på de andre oppgavene.
Har jeg fortsatt tid til det eller?
Beklager - tiden er ute. Jeg har publisert de innkomne svarene. Men det kommer nye oppgaver neste påske, hvis det er noen trøst...
Legg inn en kommentar