10. april 2009

Påskeegg nummer 4 - Erteplanter, gener og potenser


Dette egget handler om genetikk, planteformering, vitenskapshistorie - og vakker matematikk. Dette er en oppgave for egg-spertene!

For 125 år siden døde en mann som het Gregor Mendel. Han var ikke kjent og respektert når han døde, selv om han absolutt burde vært det. Og aller mest burde han ha møtt Charles Darwin, for de kunne ha skapt stor vitenskap sammen.

Den vanlige oppfatningen på den tiden var at menneskets arveegenskaper lå i blodet, og at barn fikk en blanding av foreldrenes blod. Dette ser vi igjen i dag i formuleringer som "blått blod", "blande blod", "blod er tykkere enn vann" osv. Darwin fikk ikke dette til å stemme med sin teori om at egenskaper kunne nedarves gjennom mange generasjoner uten å bli fortynnet, men han klarte ikke å skjønne hvordan arvelovene hang sammen. Det skjønte Gregor Mendel.

Gregor forsket på erteplanter. Han krysset høye erteplanter med lave, og fikk kun høye planter i første generasjon. Men når han krysset disse førstegenerasjonsplantene med hverandre, fikk han alltid tre fjerdedeler høye og en fjerdedel lave. Altså: 3 + 1 = 4. Matematikkspråk: 1 x 31 + 1 x 30 = 41

Basert på disse forsøkene skjønte han at plantene hadde to gener som styrte høyde, og at de arvet ett gen fra hver av foreldrene. De høye plantene har gener vi kan skrive som HH, mens de lave har hh. Førstegenerasjonsplantene har dermed alle fått en stor H og en liten h. I andre generasjon vil plantene derimot bli litt ulike, de vil få kombinasjonene HH, Hh, Hh og hh. Den siste planten vil bli lav, siden den ikke inneholder genet for høye planter. Genet for høye planter er dominant, dvs at hvis en av "bokstavene" er stor vil planten bli høy.





Gregor forsket videre på planter med flere sett med egenskaper. Han krysset erteplanter med gule og glatte erter med planter som hadde grønne og rynkete. I første generasjon hadde alle plantene gule og glatte erter (siden disse er dominante), men i andre generasjon fikk han fire ulike kombinasjoner: 9 hadde glatte gule erter, 3 hadde glatte grønne, 3 hadde rynkete gule og 1 hadde rynkete grønne. Altså: 9 + 3 + 3 + 1 = 16. (Begynner du å synes at matematikken her er vakker?) Matematikkspråk: 1 x 32 + 2 x 31 + 1 x 30 = 42




Gregor var en ivrig og systematisk forsker, så han forsket selvsagt også på planter med tre egenskaper. Dette vil gi åtte ulike kombinasjoner i andre generasjon, og fordelingen vil bli slik: 27 + 9 + 9 + 9 + 3 + 3 + 3 + 1 = 64. Dette var vel pent? Matematikkspråk: 1 x 33 + 3 x 32 + 3 x 31 + 1 x 30 = 43

Her er vi på vei inn i en tallrekke som har et flott mønster. Matematisk sagt kan den vel formuleres ved at firerpotensene er skrevet som en sum av treerpotenser. Det er også slik at antall treerpotenser er et palindrom og kan leses likt forlengs og baklengs - dvs at 16 = 1:2:1 av treerpotensene, 64 = 1:3:3:1 osv kan leses begge veier.

Jeg lurer selvsagt på om du kan skrive 256 som en sum av 81, 27, 9, 3 og 1. Og om du klarer å skrive de tre neste firerpotensene som summer av treerpotenser. Du trenger ikke å skjønne matematikkspråket for å klare denne oppgaven, du kan være ryddig og bruke papir, kalkulator eller regneark og normal prøving og feiling.

Lykke til med jakten på Mendels tallrekke, den er meget vakker!

Kilde for fakta: Wikipedia. Tallrekken har jeg selv funnet formelen på, etter at nysgjerrigheten min ble vekket da jeg leste om Mendel på Wikipedia.

18 kommentarer:

Esquil sa...

Det fins en drøss av måter å skrive firerpotenser på in terms of treerpotenser. for å ta ytterpunktene: dette blir et tretallssystem, slik at alle heltall kan skrives uten at man bruker mer enn 2 av hver treerpotens. alle heltall kan også skrives bare ved å summere en haug med 3^0'er. men det vi er ute etter her er noe så vakkert som symmetri, ikke sant?

prøve og feile:
1x81 + 4x27 + 6x9 + 4x3 + 1x1 = 256

prøve og feile... nnngh...argh:
1x243 + 5x81 + 10x27 + 10x9 + 5x3 + 1x1= 1024

og så skjønte esquil mønsteret:

1:4:6:4:1
1:5:10:10:5:1
1:6:15:20:15:6:1
1:7:21:35:35:21:7:1

siffer n i neste rekke er sum av siffer n og n-1 fra forrige rekke.
(hvis n eller n-1 havner på blanke arket regner man det som 0.)

vakkert ja. det skal du ha.

Hilde Brennhovd sa...

Jeg var veldig god i dette på gymnaset, holder det? Vær så snill? Siden det er påske? Og jeg har hodet fullt av annnen kunnskap for øyeblikket?

kamikaze sa...

Men... når du begynner eksperimentet ditt, hvordan vet du at de høye erteplantene har gensammensetning HH? Du kan kanskje sjekke det gjennom å krysse dem med et antall lave, men helt sikker blir du vel aldri, i hvert fall ikke hvis du er Mendel? Og hvis du bare plukker en hvilken som helst lang og en lav, så får du jo ikke nødvendigvis lange planter i første generasjon?

Truls sa...

256: 1-4-6-4-1
1024: 1-5-10-10-5-1
4096: 1-6-15-20-15-6-1
16384: 1-7-21-35-35-21-7-1

osv.

Tallrekken er den samme som du finner i [a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle"]Pascal's trekant[/a].

...som gir velkjente tall for alle som noen gang har drevet med avansert fotballtipping og tippesystemer ;)

Cecilie sa...

Denne var gøy!

256 = 1*3^4+4*3^3+6*3^2+4*3^1+1*3^0
(1:4:6:4:1)

4^5 = 1024 = 1:5:10:10:5:1

4^6 = 4096 = 1:6:15:20:15:6:1

4^7 = 16384 = 1:7:21:35:35:21:7:1

Valgte kun kortversjonen på de tre siste:)

Kjempe gode påskeegg:)
Du gjør en bra jobb nissemann

Dnort sa...

Sorry, siste rest av brukbar intelligens og matematisk forståelse forsvant da jeg aksepterte at Harry Potter kan fly ved hjelp av trylleformularer...

Nissemann sa...

Hilde: Store hjerner trenger ikke hukommelse. Du trenger ikke å huske hva du har klart før, hvis du er smart nok til å klare det igjen...

Kamikaze: Godt spørsmål! Jeg antar at frøene til de høye plantene er hentet fra en frøbank med planter som har vært høye i mange generasjoner. Men helt sikker kan man jo aldri være. Selv om du har brune øyne, kjæresten din har brune øyne, og alle deres foreldre, besteforeldre og oldeforeldre - så kan det jo være at dere får blåøyde barn...

Nissemann sa...

Og Dnort: Du må slutte å se på tv. Jeg har sagt det før og sier det igjen: Du spiller for lite dataspill!

haraldhauge sa...

Hm... fikk du ikke svaret mitt, eller legger du bare ut ting litt sånn etter hvert?

Nissemann sa...

Jobber med saken nå, Harald - nesten ferdig!

haraldhauge sa...

Godt jobbet, sier nå jeg! Jeg sveipet bare innom idet jeg skulle sjekke kveldens fotballresultater - og med VIF-seier over LSK blir man jo rent eksaltert - og oppdaget at du hadde publisert en hel røys svar allerede! Imponerende, både effektiviteten i gjennomgang av rettebunken og (ikke minst!) komposisjon av oppgaver! :-D

Nissemann sa...

Påskeegg nummer 4 – løsningsforslag

Mendel var en dyktig biolog, og neppe helt tapt i matematikk heller. De ulike vitenskapene henger sammen, som bl.a. Pythagoras har skjønt. Tallrekken (eller snarere mønsteret) er gjengitt i flere av besvarelsene over her, jeg tar den her likevel:

1
1:1
1:2:1
1:3:3:1
1:4:6:4:1
1:5:10:10:5:1
1:6:15:20:15:6:1
1:7:21:35:35:21:1

I hver rekke skal hvert tall være summen av tallet rett over og tallet på skrå oppe til venstre. Det fjerde tallet i rekke 6 skal være summen av det tredje og fjerde i rekke 5.

Sjekk de pene kolonnene. Første kolonne inneholder bare 1. Andre kolonne inneholder 1-gangen. Tredje kolonne inneholder ”trekanttallene”, dvs antall brikker du trenger for å lage trekanter av voksende størrelser: 1 i øverste rekke, 2 mer i neste (til sammen 3), 3 mer i tredje rekke (til sammen 6) osv.

Og for å gi deg gåsehud, sjekk denne:
110 = 1
111 = 11
112 = 121
113 = 1331
Tør du fortsette med 11-potensene?

I tillegg er det noe som sier meg at dette har med første kvadratsetning å gjøre, spesielt den første illustrasjonen av erteplantene sier meg det. Ligger det mer kvadratsetning (eller kubikksetning) her mon tro?

Gregor Mendel oppdaget arvelovene og er ”genetikkens far”. Selvmotsigende selvsagt, siden man i genetikken må ha både en far og en mor… Tallmønsteret kalles Pascals triangel (takk Truls!). Men som så mye annen god matematikk ble den først oppdaget i Asia. Og jeg fant mønsteret etter å ha hørt om Mendel i et elevrollespill på It’s learning-konferanse for en måned siden, og syntes det var så vakkert at jeg ville dele det med dere.

Poengutdeling

Så poengutdelingen. Tre poeng for helt rett med god forklaring, to poeng for mye bra og ett poeng for godt begynt. I tillegg gis det tøysepoeng, og dem går det 100 av på et ekte matematikkpoeng.

Esquil – Full pott og 3 poeng.

Hilde – 1 tøysepoeng. ;)

Kamikaze – Jeg har allerede svart på spørsmålet ditt, det var et godt stilt spørsmål. Det gir ikke poeng, siden det ikke fører deg nærmere løsningen. Men 1 tøysepoeng kan du få.

Truls – Korrekt og 3 poeng. Takk for linken, dette var interessant! Jeg har sluttet med all form for fotballtipping, etter å ha levert privat tabellforslag i minst 10 år med Brann på topp – bortsett fra i 2007…

Cecilie: Full pott og 3 poeng. Takk for respons, gøy å se at økonomer også kan matematikk – det er jo ingen selvfølge… :)

Dnort – 1 tøysepoeng skal du få.

Og Harald – full pott og 3 poeng for besvarelse på epost. Legg den gjerne ut her også, til glede for alle lesere. ”Systemet er like enkelt som det er vakkert” – sånn er matematikken! Palindromer skal vi komme tilbake til i fremtidige nøtter. Meget grundig svar, med utregning av linje 10 i mønsteret og ”svaret” på selve spørsmålet inn med teskje til slutt. Det meste smaker best med teskje. Sjokoladeegg for eksempel.

Takk for din deltagelse! Kjekt at så mange matematikknerder har sittet inne i påsken og knekket påskeegg!

haraldhauge sa...

På oppfordring:

Systemet er like enkelt som det er vakkert:
4^0 = 1(3^0)
4^1 = 1(3^1) + 1(3^0)
4^2 = 1(3^2) + 2(3^1) + 1(3^0)
4^3 = 1(3^3) + 3(3^2) + 3(3^1) + 1(3^0)
4^4 = 1(3^4) + 4(3^3) + 6(3^2) + 4(3^1) + 1(3^0)
4^5 = 1(3^5) + 5(3^4) + 10(3^3) + 10(3^2) + 5(3^1) + 1(3^0)
4^6 = 1(3^6) + 6(3^5) + 15(3^4) + 20(3^3) + 15(3^2) + 6(3^1) + 1(3^0)
4^7 = 1(3^7) + 7(3^6) + 21(3^5) + 35(3^4) + 35(3^3) + 21(3^2) + 7(3^1) + 1(3^0)
4^8 = 1(3^8) + 8(3^7) + 28(3^6) + 56(3^5) + 70(3^4) + 56(3^3) + 28(3^2) + 8(3^1) + 1(3^0)

Antallet treerpotenser fordeles etter følgende palindromiske mønster:
4^0 = 1
4^1 = 1:1
4^2 = 1:2:1
4^3 = 1:3:3:1
4^4 = 1:4:6:4:1
4^5 = 1:5:10:10:5:1
4^6 = 1:6:15:20:15:6:1
4^7 = 1:7:21:35:35:21:7:1
4^8 = 1:8:28:56:70:56:28:8:1


Systemet blir enda tydeligere å avlese dersom vi setter det opp i pyramideform (systemet er utvidet med en neste rekke satt i kursiv for å illustrerer hvordan mønsteret fortsetter):

[...og her fulgte en fin tabell, som var grunnen til at jeg valgte å levere pr. e-post; den lar seg ikke gjengi med noe som ligner på rettferdighet i et blogger-kommentarfelt. ;-)]

Altså: I hver rekke summeres to tilstøtende tall for å finne tallet i neste rekke.

Test:
Som en test på at systemet faktisk stemmer summerer jeg den neste linja i tallrekka:
1(3^9) + 9(3^8) + 36(3^7) + 84(3^6) + 126(3^5) + 126(3^4) + 84(3^3) + 36(3^2) + 9(3^1) + 1(3^0)
= 1(19.683) + 9(6.561) + 36(2.187) + 84(729) + 126(243) + 126(81) + 84(27) + 36(9) + 9(3) + 1(1)
= 19.683 + 59.049 + 78.732 + 61.236 + 30.618 + 10.206 + 2.268 + 324 + 27 + 1
= 262.144 = 49
(Q.E.D.)

PS: Siden det første du faktisk spurte etter var om jeg kunne skrive 256 som en sum av 81, 27, 9, 3 og 1 skal du få det inn med teskje:
256 = 81 + 27 + 27 + 27 + 27 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1

haraldhauge sa...

...den "49"-en der på slutten skal selvsagt leses "4^9", ellers blir den Q.E.D.-en en tanke meningsløs. Hadde det enda stått = 42...!

Nissemann sa...

Ops... Glemte noen sup-tagger i poenget om 11-potensene, men de kodene er visst ikke lov i kommentarfeltet. Omtrent som at en pilot ikke får ta med seg tannkrem i håndbagasjen, men han har ei diger brannøks i cocpiten. Prøver igjen:

Og for å gi deg gåsehud, sjekk denne:
11^0 = 1
11^1 = 11
11^2 = 121
11^3 = 1331
Tør du fortsette med 11-potensene?

kamikaze sa...

Såhär på overtid kan jeg gi deg et lite bevis, alternativt linken til den første kvadratsetningen.

Påstanden er at

4^n

er det samme som summen av

(n,k) 3^k, k=0, ... n

der (n,k) egentlig betyr (n over k), den k^te binomialkoeffisienten for n.

Tallene i den n'te rekken av Pascal's triangel som mange nevnte ovenfor er binomialkoeffisientene for n-1 over k, der k går fra 0 til n-1.

Men disse binomialkoeffisientene er også koeffisientene til x^ky^(n-k) i polynomet du får hvis du ganger ut (x+y)^n.

Well, nå er beviset søtere enn sukker:

4^n=(3+1)^n= sum av binomialkoeffisienten (n, k) * 3^k * 1^(n-k)

for k=0, ... n.

Og hvorfor sa jeg ikke det før? Fordi det var gubben som fant på den søte delen :P

kamikaze sa...

Og ja, med samme metode ser du også forklaringen til hvorfor 11-potensene blir så pene!

Nissemann sa...

Beklager, mine 15 vekttall matte strekker ikke til for å gi deg den responsen en sånn kommentar fortjener. Men jeg likte ordet "binomialkoeffisientene", kanskje jeg skriver en sang om det en gang. :)