For åttende år på rad serverer Nissemann sine
matematiske påskeegg. Eggene har litt hardt skall, men du klarer nok å knekke
dem hvis du er utstyrt med tålmodighet og logisk sans.
Det har vært sagt og skrevet mye de siste årene om
lærerstudenter som stryker i matematikk. Årets oppgaver er hentet fra
matematikkeksamen for lærerstudenter ved forskjellige høgskoler, og skrevet inn
i Nissemanns verbale rammefortelling.
Oppgave 4: Studenter som gjør husarbeid
Seks lærerstudenter
leier et stort hus sammen. Den første uken blir det trukket lodd om hvem som
skal lage mat, hvem som skal gjøre rent fellesrommene og hvem som skal klippe
plenen. Hver av de tre oppgavene skal utøves av en student. Ingen skal ha mer
enn en jobb.
Tre studenter blir
ikke trukket ut til noen oppgaver.
Hvor mange forskjellige sammensetninger kan denne
gruppen av studenter ha?
Legg igjen svaret ditt som kommentar til dette
innlegget, og ta med forklaring eller utregning. Svarfrist er 2. påskedag
klokken 20, da publiseres alle innsendte svar sammen med mine løsningsforslag
og årets vinner kåres. Hvis du ombestemmer deg, kan du sende inn nytt svar -
siste svar gjelder. Maksimal poengsum på denne oppgaven: 1 poeng.
Oppgavene er valgt ut og bearbeidet av
matematikklærer Jonny Becher Eriksen, opprinnelig brukt ved Høgskolen i Agder.
15 kommentarer:
Ordnet utvalg uten tilbakelegging.
Ordnet utvalg vil si at Ole på vask, Per på mat og Lise på plen, ikke er det samme som Per på vask, Lise på mat og Ole på plen. Dette er elementært for de som har bodd i kollektiv. Å vaske fellesarealene kan ikke sidestilles med noe annen jobb.
6 x 5 x 4 = 120 muligheter.
Vett'kje...
4) 3 av studentene gjør ingenting NB viktig. Da er det 3 oppgaver som fordeles på 3 mulige stykker. Svaret blir da slik: 3 +2 +1 = 5 Da har vi funnet de sammensetningene som gjelder for de 3 stk lærerstudentene den uken. Svaret blir da 5 den første uken, men resten av ukene vet vi ikke noe om regnestykket blir forhåpentligvis slik:
6 +5 + 4 +3 +2 +1= 20 etter mitt hode blir da svaret på en vilkårlig uke siden det er 3 oppgaver ganger vi 20 med 3 Svaret blir da 3 x20 som blir 60 Dette er sikkert feil men det er alikevel løsningsforslaget mitt
Vi driter i 3 av studentene og få denne løsningen 3 studenter som skal gjøre 3 oppgaver la oss kalle de per, pål og Espen. svaret blir da 3x3 =9
Det er 20 ulike sammensetninger av treer-gruppen uten husoppgaver.
Hvis rekkefølgen av de tre var viktig (vara-nr, f.eks) ville det vært 6*5*4=120 ulike kombinasjoner. Men siden det ikke er relevant, kan vi justere dette antallet ved å dele på antallet mulige rekkefølger av en treer-gruppe, nemlig 3*2*1=6.
Antallet mulige urangerte treer-grupper blir dermed 120/6=20.
Litt tungvint løsning, men tror det funker.
Her har jeg brukt terningmetoden sammen med apostolisk forskning. For å være sikrere på et riktig svar, brukte jeg TO terninger.
Terningene ble kastet 12 ganger. En for hver disippel. Svarene ble satt opp på en linje fra lavest til høyest. Median viste seg å være 13. Den 13. apostel var Maria Magdalena. Svaret må da bli 13.
Mens jeg skrev inn svaret på bloggen din, hørte jeg på Jesus Christ Superstar og havna akkurat nå på Damned For All Time/Blood Money. Der synges det Well Done Judas. Så da tar jeg det som en bekreftelse på at 13 er rett svar.
Hallelujah!
Vi kaller studentene A,B,C,D,E og F.
A kan delta i 10 kombinasjoner, B kan delta i ytterligere 6, c kan delta i ytterligere 3 og D kan delta i ytterligere 1.
Dette gir 20 kombinasjoner.
I denne oppgaven må vi benytte fakultet (eller n-fakultet: n!), hvor produktet av naturlige tall fra 1 til n beregnes.
Hvis vi skal finne ut hvor mange ulike kombinasjoner av studenter som IKKE har oppdrag (som ville vært svaret, hvis oppgavene som skal utføres hadde vært LIKE), kan vi benytte følgende:
6!/(3!*3!) = 1*2*3*4*5*6/(1*2*3*1*2*3) = 20
I denne oppgaven har derimot de tre studentene som arbeider ULIKE oppgaver, derfor må vi benytte følgende:
6!/3! = 1*2*3*4*5*6/(1*2*3) = 120
Dvs at vi har 120 ulike sammensetninger av denne gruppa.
Takk for påskenøtter!
OK: Dette er "probability and statistics"-stoff fra High School, og hvis jeg ikke er helt på bærtur snakker vi her om et eksempel på enten permutasjon eller kombinasjon uten repetisjon (binominalfoeffisient). (Jeg måtte faktisk google begrepene her, for jeg lærte alt dette på engelsk en gang i tida...) Så spørs det da, om rekkefølge har noe å si eller ikke. Og akkurat der er oppgaveteksten noe uklar, ærede Nissemann.
Dersom rekkefølge HAR noe å si, altså at oppgavene blir trukket ut i en bestemt rekkefølge og at spørsmålet om hvem som utfører hvilke oppgaver er vesentlig for det som kalles "sammensetning" i oppgaveordlyden, får vi:
n!/(n-k)!=6!/(6-3)!=6!/3!=120
Altså 120 forskjellige mulige sammensetninger.
Men om det IKKE spiller noen rolle hvilken rekkefølge studentene trekkes ut i, altså at vi bare er ute etter hvilke studenter som faktisk har en oppgave (og ikke HVILKEN oppgave de utfører), blir svaret:
n!/(k!(n-k)!)=6!/(3!(6-3)!)=6!/(3!*3!)=720/(6*6)=720/36=20
Altså 20 forskjellige sammensetninger.
Tolkning av flertydige oppgavetekster er alltid et risikoprosjekt, men jeg tror vel at det for en student i et kollektiv er det siste svaret som egentlig er det mest interessante her, altså at det kan trekkes ut 20 ulike sammensetninger av tre studenter av en gruppe på 6 der disse tre studentene har ansvaret for hver sin (ikke nærmere spesifiserte) oppgave.
Takk for moroa, Nissemann! Og fortsatt god påske til deg og dine! :-)
Løsningsforslag:
Som min matematikklærer på videregående, Samuel Sørheim, sa: Kan det tegnes, så kan det regnes. Så jeg velger å tegne det (selv om jeg behersker utregning av uordnet utvalg uten tilbakelegging også). Hver student er representert med en bokstav, og stor bokstav viser at studenten slapp ukens oppgaver.
ABCdef, ABcDef, ABcdEf, ABcdeF, AbCDef, AbCdEf, AbCdeF, AbcDEf, AbcDeF, AbcdEF, aBCDef, aBCdEf, aBCdeF, aBcDEf, aBcDeF, aBcdEF, abCDEf, abCDeF, abCdEF, abcDEF
Altså 10 kombinasjoner der student A slapp unna, i tillegg 6 der student B slapp unna (uten student 1), tre der student C slapp unna (uten student 1 og 2), og 1 der student D slapp unna (uten de tre første). Totalt 20 mulige kombinasjoner.
I denne oppgaven har mange oversett den siste linjen før selve oppgaveformuleringen: "Tre studenter blir ikke trukket ut til noen oppgaver. Hvor mange forskjellige sammensetninger kan denne gruppen av studenter ha?" Det er altså gruppen av studenter som slipper ukens oppgaver det spørres etter, noe som gjør at mange har levert feil svar (det motsatte svaret).
Poengberegning:
Olaf: 0 poeng. Du har regnet ut hvor mange ulike kombinasjoner av oppgavene, og funnet riktig svar på det spørsmålet. Men jeg spør om hvor mange kombinasjoner det er av gruppen som slapp unna. Denne er uordnet, mens du har regnet ut den ordnede gruppen (som er 6 ganger større).
Sverre: 0 poeng. Du har også regnet ut ordnet utvalg, mens jeg spør etter et uordnet.
Trond: 0 poeng, men ærlighet varer jo lenge. Humor også. :)
Elin Helen: 0 poeng. Klarte ikke å lese ferdig resonnementet ditt, jeg hang meg opp i dette: "3 +2 +1 = 5" ;)
Line: Riktig, 1 poeng. Veldig bra forklart!
Andreas og Liv Marit: Riktig, 1 poeng. Strålende enkelt forklart, regner med at dere har tenkt omtrent som meg i mitt løsningsforslag.
Per Arve: Riktig utregning av ordnet utvalg uten tilbakelegging, men dette er et uordnet (studentene som slipper en oppgave). Les spørsmålet nøye.
Harald: Riktig, 1 popeng. Takk for din teksttolkning, godt å få litt eksperthjelp her. Jeg tenker at oppgaven er klar, det er gruppen av studenter som slipper unna ukens oppgaver som det leddet "denne gruppen" peker tilbake til. Takk for at du presenterte begge løsningene, og den du endte opp med å velge regnes som riktig løsning. (En veldig konservativ matematikklærer ville kanskje påpekt at du egentlig presenterte svaret på noe annet enn det jeg spurte etter, men tallet er riktig og utregningen stemmer).
Ærede Nissemann! Oppgaveteksten er klar, det er min lesning som er tilslørt og tåkete. Jeg leste oppgaven som om "denne gruppen" viste til de som faktisk ble trukket ut til en oppgave, ikke til de heldige studenter som fikk fri. At jeg leverte et svar som likevel viste seg å være riktig demonstrerer til fulle at lykken rett som det er ER bedre enn forstanden.
Jeg skal hilse fra Hanne. Hun sitter også med en rettebunke, selv om det er røddag. Lærere er fantastiske folk.
Harald: Du hadde nok litt flaks, men du var også grundig og viste begge måtene å regne ut på - og valgte den riktige. Selv om du var innom tåkeheimen, kom du frem til riktig hytte.
Olaf: Oppgaven var uansett ikke så vanskelig, men krevde klare tanker før utregning.
Siden de tre første oppgavene var ganske "enkle" i år, ble kanskje noen lurt av det og hoppet rett i utregningen uten å lese oppgaven veldig nøye. Hvis det er noen trøst, så er 120 et godt svar og ikke helt på vidda. (Selv om det er svaret på et annet spørsmål enn det jeg stilte...)
Hadde rett til jeg begynte å rote det til se første svar
Legg inn en kommentar