For åttende år på rad serverer Nissemann sine
matematiske påskeegg. Eggene har litt hardt skall, men du klarer nok å knekke
dem hvis du er utstyrt med tålmodighet og logisk sans.
Det har vært sagt og skrevet mye de siste årene om
lærerstudenter som stryker i matematikk. Årets oppgaver er hentet fra
matematikkeksamen for lærerstudenter ved forskjellige høgskoler, og skrevet inn
i Nissemanns verbale rammefortelling.
Oppgave 3: Tut-tut sier onkels lastebil
Oppgave 3: Tut-tut sier onkels lastebil
Ja, nå har’n Per fått det slik som han vil
Jakke
og bukse og nå kjører’n bil
Per
har sommerjobb og kjører lastebil for sin onkel. Nå har han fått beskjed fra en
kunde om å skaffe ei flaggstang som skal leveres med lastebilen. Bredden på
lasteplanet er tre meter og lengden er fire meter.
- Hvor lang er den lengste flaggstanga Per kan frakte dersom flaggstangen skal ligge på lasteplanet?
Kunden
vil egentlig ha ei flaggstang på seks meter. Per svarer at han ikke kan trylle
fram større lasteplan og at flaggstangen dermed ikke kan være så lang som
kunden vil. Men så husker han plutselig matematikken han lærte på ungdomsskolen
og kaster seg på telefonen til sin onkel.
- Onkel – jeg får jo plass til en lengre flaggstang dersom jeg setter på høykarmer på lasteplanet!
- Ja, det stemmer selvsagt. Hvor lang flaggstang vil kunden ha da?
- Han vil ha ei flaggstang på seks meter!
- Onkel har karmer som er tre meter høye. Forklar hvorfor Per likevel ikke får plass til ei flaggstang på seks meter.
Legg igjen svaret ditt som kommentar til dette
innlegget, og ta med forklaring eller utregning. Svarfrist er 2. påskedag
klokken 20, da publiseres alle innsendte svar sammen med mine løsningsforslag
og årets vinner kåres. Hvis du ombestemmer deg, kan du sende inn nytt svar -
siste svar gjelder. Maksimal poengsum på denne oppgaven: 2 poeng.
Oppgavene er valgt ut og bearbeidet av
matematikklærer Jonny Becher Eriksen, opprinnelig brukt ved Høgskolen i Sør-Trøndelag.
12 kommentarer:
Høykarmene måtte vært 3,32m hvis man skulle fått plass til en 6m lang flaggstang.
Diagonalen av lasteplanet:
3x3+4x4 = 25
Kvadratroten av 25 = 5
Diagonalen er altså 5 meter.
Diagonalen av rektangelet Diagonalen av lasteplanet/høyden på karmene:
5x5 + 3x3 = 34
Kvadratroten av 34 = 5,83
Den lengste flaggstangen man kan ha på lasteplanet er altså 5,83 meter lang.
a: 5 meter, alle barn vet at hypotenusen i en rettvinklet trekant med to kateter på 3 og 4 er 5.
b: da blir hypotenusen på 5 m en katet i en ny rettvinklet trekant, og den andre kateten er høykarmen på 3 m. Flaggstanga skal være hypotenusen. Så vi bruker pytagoras på dette, 5^2+3^2=25+9=34, og rota av det er mindre enn 6.
Høykarmene må være rota av 11 meter=3,32 meter høye for at stanga skal få plass
A)
Root(sq(3)+sq(4))
= root(9+16)=root(25)=5
Får plass til 5 meter flaggstang på lasteplanet.
B)
Root(sq(3)+sq(5))
=root(9+25)=root(34)=5,83
5,83 er mindre enn 6 og derfor ikke tilstrekkelig for å frakte en flaggstang på 6 meter. Så nært, så nært, men akk så langt i fra.
Oppgave 3.¨
A)
Bredde = B = 3m
Lengde = L = 4m
Diagonal av firkant = D
Diagonalen av firkanten = Lengste mulige lengden på flaggstang.
Da blir det:
D`2 = B'2 + L'2
-> D'2 = 3'2 + 4'2
-> D'2 = 9 + 16
-> D'2 = 25
-> D = kvadratroten av 25
-> D = 5
Flaggstangen kan da maks være 5m lang.
B)
Karm = K = 3m
Ny makslengde = N
Da blir det:
N'2 = D'2 + k'2
N'2 = 5'2 + 3'2
N'2 =25 + 9
N'2 = 34
N = kvadratroten av 34
N = 5,83
Flaggstangen kan da maks være 5,83m. Dermed kan Per ikke levere en flaggstang som er 6m lang.
Dette er det Janne-Helen som har lært meg idag og jeg som trodde matte var vanskelig :)
A) diagonalen utgjør hypotenusen i en rettvinklet trekant, og er 5 meter lang.
Kan enten bruke Pythagoras' setning eller kjenne til at dette er et klassisk eksempel på en slik trekant.
B) med karmer på hengeren får vi en ny rettvinklet trekant, der diagonalen fra a nå er den lengste kateten mens karmene utgjør den korte kateten. Flaggstanga utgjør igjen hypotenusen, (og legges diagonalt både vertikalt og horisontalt) noe som gir maksimal lengde:
Kvadratrot av 34 = 5,8 meter ( 34 er summen av kvadratet av katetene, 3*3 + 5*5).
Selv om 5,8 kan rundes av til 6 hele meter, vil dette neppe være en løsning kunden godtar.
For å få plass til en seks meter lang stang, trengs det karmer som har lengden kvadratroten av 11, altså 3,3 meter, siden
X^2 = 6^2 - 5^2.
Alternativt må Per frakte en stang som stikker utenfor karmene, da må han være ekstra nøye med å sikre lasten.
a) Pythagoras gir 9 + 16 = 25. Lengste flaggstanga kan være 5 meter.
b) Bruker diagonalen på planet av lasteplanet fra a) som en katet og høyden på karmen som andre. 25 + 9 = 34. Summen måtte vært 36 for at lastekassa skulle kunnet romme en flaggstang på 6 meter.
En forutsetning er at flaggstengene er tynne streker uten den tredje dimensjon.
Nei, no e det nok regning med vinkler og skråplan og greier.
Tar heller og gjetter...
a) 4,66
b) Fordi stanga er litt for lang
a)Pytagoras
3x3 + 4x4=25
Kvadratrota av 25=5
Flaggstanga kan være 5m
b)Pytagoras
6x6=36
5x5=25
36-25=11
kvadratrot av11=3,32
Karmen er for lav
a
Her må vi bruke Pythagoras læresetning, som sier at i en rettvinklet trekant er kvadratet av lengden til den lengste siden (hypotenusen) summen av kvadratene av lengden til de to korteste sidene (katetene).
Den lengste flaggstanga som Per kan frakte, dersom flaggstanga skal ligge på lasteplanet er derfor: kvadratrota av (3m*3m+4m*4m) = kvadratrota av 25 kvadratmeter, som er 5m.
b
I denne oppgaven må vi også benytte vår gode venn, Pythagoras, og hans læresetning. Denne gangen blir hypotenusen i oppgave a en av katetene. Den andre kateten er karmhøyden.
For at Per skal få plass til en flaggstang på seks meter, må følgende regnestykke være SANN:
5m*5m+3m*3m >= 6m*6m
Vi får: 25m2+9m2 >= 36m2
Og: 34m2 >= 36m2
Som er USANN. Det betyr at det IKKE er plass til en flaggstang på seks meter på lasteplanet, selv om Per benytter onkelens tre meter høye karmer.
Her er det rettvinklede trekanter og Pytagoras som er greia.
a. I et rektangel med sider 3 og 4 meter er diagonalen 5 meter. (3^2+4^2=5^2) Det betyr at den lengste flaggstanga Per kan få plass til på lasteplanet er nettopp 5 meter. Vi tar da ikke hensyn til sånne unødvendige ting som at stanga faktisk har en tykkelse som spiser litt plass i hjørnene.
b. Dersom vi lar diagonalen på lasteplanets gulv være en av katetene i en ny rettvinklet trekant og den andre kateten være karmene på lasteplanet (3 meter), får vi en ny diagonal som går fra gulv til tak (eller øvre kant av karmene) i lasterommet. Denne diagonalen kan også beregnes ved hjelp av Pytagoras:
3^2+5^2=9+25=34
Kunden ønsker seg en flaggstang på 6 meter. 6^2 er 36, men 36 > 34. Ei flaggstang på 6 meter får derfor akkurat ikke plass. (Roten av 34 er rundt 5,83.)
Løsningsforslag:
a) Dette er enkel bruk av Pytagoras' forenklede læresetning (for rettvinklede trekanter): Kvadratet av hypotenusen er lit summen av kvadratene av de to katetene. Og den enkleste av de alle er en 3 - 4 - 5 -trekant. Men utregnet betyr det altså at 3^2 + 4^2 = 5^2 = 25. Altså er den lengste flaggstangen som kan ligge på lasteplanet 5 meter.
b) Her må vi bruke Pytt'en en gang til. Den liggende kateten blir denne gangen 5 meter, og den stående blir 3 meter. 5^2 + 3^2 = 34, mens summen skulle vært 36 for at flaggstangen kunne vært 6 meter. Hvis karmene hadde vært 3,32 meter høye, kunne flaggstangen vært 6 meter - eller hvis lasteplanet hadde vært 5,2 meter langt.
Poengberegning:
Olaf: Riktig, 2 poeng.
Roger: Riktig, 2 poeng.
Esquil: Riktig, 2 poeng. Sjarmerende arroganse. :)
Circus Ingvardo: Riktig, 2 poeng.
Elin Helen: Riktig, 2 poeng. Fantasisk kommentar i svaret ditt: "og jeg som trodde matte var vanskelig". Matematikk er 80% logikk og 20% språk / begreper. I mine matematiske påskeegg dropper jeg begrepene og holder meg til logikken.
Line: Riktig, 2 poeng.
Sverre: Riktig, 2 poeng. Pertentlig presisering om bredden på flaggstengene... :)
Trond: Beklager, 0 poeng. Er litt skuffet over at du ikke gikk ut i hagen og tegnet og målte opp. :)
Andreas og Liv Marit: Riktig, 2 poeng.
Per Arve: Riktig, 2 poeng. Pent oppsett.
Harald: Riktig, 2 poeng. Flaggstenger har ingen bredde i mitt matematiske univers.
Legg inn en kommentar