For åttende år på rad serverer Nissemann sine matematiske påskeegg. Eggene har litt hardt skall, men du klarer nok å knekke dem hvis du er utstyrt med tålmodighet og logisk sans.
Det har vært sagt og skrevet mye de siste årene om lærerstudenter som stryker i matematikk. Årets oppgaver er hentet fra matematikkeksamen for lærerstudenter ved forskjellige høgskoler, og skrevet inn i Nissemanns verbale rammefortelling.
Oppgave 1: Sisyfos-arbeid ved bassenget
Kjellulf studerer hardt for å bli lærer, men om sommeren må han ha en jobb. Lånekassen sponser jo bare 10 måneder i året, så ferie får vente til seinere i livet.
Sommerjobben er å øse opp vann fra et svømmebasseng, og så tømme det tilbake. Men det må gjøres på en bestemt måte, ved hjelp av to spann. Det lille spannet rommer 8 liter, det store spannet rommer 14 liter. Det lille spannet fylles fra et basseng, og tømmes så over i det store spannet inntil dette er nøyaktig fullt. Det betyr selvsagt at du må fylle det lille spannet flere ganger. Deretter skal det store spannet tømmes tilbake i bassenget, og resten av vannet i det lille spannet helles over i (det nå tomme) store spannet.
Kjellulf koser seg med sommerjobben, og får tiden til å gå fortere ved å løse noen oppgaver mens han jobber. Klarer du å løse dem?
- Det lille spannet fylles og tømmes 5 ganger. Hvor mange liter vann er det nå i det store spannet, og hvor mange ganger ble det store spannet tømt?
- Hvor mange fyllinger (og tømminger) av de to spannene må du gjøre før begge igjen er tomme?
Oppgavene er valgt ut og bearbeidet av matematikklærer Jonny Becher Eriksen, opprinnelig brukt ved Høgskolen i Hedmark.
17 kommentarer:
A) Det ble tømt 2 ganger, og det er 12 litr i dt store spannet
Løsningsforslag:
8*5 = 40
40/14 = 2,8... -> Ergo, det ble tømt 2 ganger
14*2 = 28 -> Ergo, det er 12 liter i det store spannet
B) Det er ved 3 fyllinger av den lille bøtte, og 2 tømminger av den store. Gitt at den lille bøtten aldri må være helt full.
Løsningsforslag:
1. Lille bøtte fylles, og tømmer til den store (0 igjen i den lille, 8 i den store)
2. Lille bøtte fylles, og tømmes til den store er helt full. Det er da 6 liter igjen i den lille bøtten.
3. Den store bøtten tømmes tilbake til bassenget. Deretter blir de gjenværende 6 literne i den lille bøtten fylt til den store bøtten.
4. Lille bøtte fylles igjen, og tømmes over til den store. Det er da 14 liter i den store, og 0 i den lille. Ved at man da tømmer den store, vil det være 0 igjen i den store.
Alternativ 2: Til han snubler og mister bøttene slik at vannet renner tilbake til bassenget.
a) Det er nå 12 liter i den store bøtta. Den er blitt tømt tilbake i bassenget 2 ganger.
b) Det lille spannet må fylles ytterligere 2 ganger, i alt 7 ganger, mens det store tømmes ytterligere 2 ganger, i alt 4 ganger.
a)
1. 0+8=8 i store, 8-8=0 i lille
2. 8+6=14 i store, 8-6=2 i lille, TØM store, 2 i store
3. 2+8=10 i store, 8-8=0 i lille
4. 10+4=14 i store, 8-4=4 i lille, TØM store, 4 i store
5. 4+8=12 i store, 8-8=0 i lille
b)
6. 12+2=14 i store, 8-2=6 i lille, TØM store, 6 i store
7. 6+8=14 i store, 8-8=0 i lille, TØM store, 0 i store
5 ganger 8 er 40 liter
tømmer det store spannet to ganger, det er 28 liter, da blir det 12 liter igjen.
så, 12 liter og 2 ganger.
minste felles multiplum av 8 og 14:
faktoriserer, 2 i tredje og 2 ganger 7, det blir 8*7=56. det er 56 liter, så da har man fylt og tømt det lille spannet 7 ganger og det store spannet er tømt 4 ganger.
1 A ) 4O L ER FYLLT OPPI DET LILLE SPANNET OG TØMT OVER I DET STORE. Den store bøtten er tømt 3 ganger og akkuratt nå er det 2 liter oppi den. formler får du ikke av meg da jeg ikke har lært meg den slags, b kommer når jeg har tid
B) Når det er tømt 56 liter vann fra det lille og det store spannet er de tomme det vill si at det lille spannet blir tømt 7 ganger og det store spannet blir tømt 4 ganger fortsatt ingen formel bare god gammaldags hoderegning
a.
I. Hvis du fyller og tømmer 8 liters spannet fem ganger, betyr det at 5x8 liter, dvs 40 liter vann er i "omløp" i oppgaven.
Dvs at det store spannet på 14 liter, fylles 40/14 = 2,86 ganger. Mao tømmes det to ganger.
II. 40 liter - (2x14) liter = 12 liter er igjen i det store spannet.
b.
For å løse denne oppgaven, må vi først finne ut hvor mye vann som er i "omløp" i dette aktuelle tilfellet. Til dette trenger vi minste felles multiplum. Her benytter vi Ekingers formel: mfm(a,b) = ab/sff(a,b)
Der mfm er minste felles multiplum, a og b er spannenes kapasitet i antall liter og sff er største felles faktor.
For å finne sff må vi faktorisere tallene 8 og 14:
8=2x2x2 og 14=2x7
Av dette ser vi at sff=2.
Vi får da: mfm(a,b) = 8x14/2 = 56. Det betyr at 56 liter vann er i omløp for at begge bøttene, for første gang etter start, skal bli tomme igjen.
Dette betyr at 8-liters bøtta må fylles og tømmes 56/8 = 7 ganger og 14-liters bøtta må fylles og tømmes 56/14 = 4 ganger for at dette skal inntreffe første gang etter start ;-)
Utregninger a) 8x5 = 4o
14x3 = 42
Da er det 2 liter vann i 14 liters spannet.
b) Her er det å finne ut hvor i gangetabellen 8 og 14 møtes og det gjør de på 56 14x4=56
8x7 =56
Altså når en har tømt 8liters spannet 7 ganger og 14x4 =56
14 liters spannet 4 ganger er de tomme
Forholdsvis lett dette.
1. Etter 5. tømming av det lille spannet er det 12 liter i det store. Og det store har da være tømt 2 ganger.
2. Etter å ha tømt det lille spannet oppi det store for 7. gang, er dette spannet akkurat fullt og kan tømmes for 4. gang.
Etter fem fyllinger er det øst opp 5x8=40 liter. Dette er nok til å fylle (og tømme) den største bøtta 2 ganger (men ikke 3). Det er derfor tømt ut 28 liter. Det er da 40-28 =12 liter igjen.
Minste felles multiplum av 8 og 14 er 2x2x2x7=56. Når den minste bøtta er fylt 7 ganger og den største 4 ganger er begge tomme.
A) etter det lille spannet er tømt over i det store fem ganger, er det 12 liter i det store, og det har vært tømt to ganger allerede.
Andre gangen det lille spannet helles over i det store er det plass til 6 liter, og det store tømmes for første gang. De resterende to + tredje fylling + fire liter av fjerde fylling gir et stort fullt spann for andre gang. Fire resterende liter + åtte nye gir tolv liter.
Satt opp mer systematisk ser det slik ut:
8 + 6
2 + 8 + 4
4 + 8
B)
Fortsetter vi oversikten sett det slik ut:
8 + 6
2 + 8 + 4
4 + 8 + 2
6 + 8
Og så gjentas det.
Når det store spannet tømmes for fjerde gang, er også det lille tomt. Det har vært fylt og tømt sju ganger.
Vi kunne også sett dette siden 56 er laveste tall både 8 og 14 går opp i, slik vi ville tenkt om fellesnevner. 7*8 = 4*14 = 56
Men da får vi ikke se det store palindrom-regnestykket over.
Tilfeldig? Neppe...
a.
8*5=40
40-14-14=12
Eventuelt kan man telle avvik.
Den lille bøtta x2 utgjør 16 liter. Den store bøtta rommer 14 liter.
Dette utgjør et avvik (overskudd) på to liter for hver tømming av av den store bøtta.
Etter to tømminger av den store bøtta har man altså et avvik på fire liter. Legg til en femte gang med den lille bøtta og man har 12 liter vann.
b.
Med samme metode som ovenfor Kan vi si at tre tømminger av den store bøtta tilsvarer seks runder med den lille bøtta, med et avvik (overskudd) på seks liter vann. En syvende runde med med den lille bøtta legger åtte liter vann til de seks, og vi har fylt den store bøtta med sine akkurat 14 liter for en fjerde tømming.
svar:
Syv. Tallet er syv.
OPPGAVE B ER RETT ,MEN JEG HAR FORANDRET SVARET PÅ a NÅR DE GJELDER OPPGAVE A OG 14 LITERS SPANNET.Spannet ble tømt 2 ganger og det var 12 liter i spannet. 14+14 =28 +12 =40
A)
Etter 5 ganger tømming av det lille spannet er det store spannet tømt 2 ganger og det er 12 liter igjen.
5x8=40=28+12=(2x14)+12
B)
Min(y)x8=min(z)x14
7x8=4x14
56=56
Begge spann er tomme etter 7 tømmingermav det lille og 4 tømminger av det store spannet.
a) 5x8=40
40:14=2,857
0,857x14=12
Det store spannet blir tømt 2ganger, da er det 12 liter igjen.
b) 7x8=56
56:14=4
Det lille spannet fylles 7 ganger og det store tømmes 4 ganger
Ettersom alt vannet som øses opp i det lille spannet også skal innom det store før det helles tilbake i bassenget, snakker vi egentlig bare om divisjon med hele tall (antall bøtter som er øst opp) og "rest" her.
a. Når det lille spannet er fylt 5 ganger, har Kjellulf øst opp 40 liter. 40/14=2,86, det vil si at det store spannet har blitt fylt (og tømt) 2 ganger. 14*2=28, og 40-28=12, som dermed er resten som nå befinner seg i det store spannet.
b. Begge spann er tomme når vi støter på en antall liter som er et produkt av både 14 og 8 ganger et helt tall. Det minste tallet dette kan være er 56, som tilsvarer 8*7 og 14*4. Oppgave (a) tok utgangspunkt i en situasjon hvor det minste spannet var blitt fylt og deretter tømt 5 ganger. Spannet må derfor fylles og tømmes to ganger til.
(For ordens skyld: Etter to fyllinger til er det helt ytterligere 16 liter over i det store spannet. I oppgave (a) satt vi igjen med en rest på 12 liter. 12 liter + 16 liter blir 28 liter, som er 2 hele 14-liters spann. Dermed er det store spannet helt tomt, og Kjellulf kan begynne på en ny 7-spanns-syklus.)
Løsningsforslag:
a) Fem fyllinger av det lille spannet gir 40 liter. 40 liter fylt over i det store spannet betyr 2 x 14 liter = 28 liter, og dermed 12 liter i det store spannet etter at det er tømt to ganger.
b) Siden både 8 og 14 er partall, velger jeg å tenke toliters-enheter. Det betyr at det går 4 tolitere i det lille spannet og 7 tolitere i det store spannet. Minste felles multiplum av 4 og 7 (laveste tall som står i både 4-gangen og 7-gangen) er 28, altså er begge spannene tomme etter 28 x 2 liter = 56 liter. Da er det lille spannet fylt og tømt 7 ganger og det store 4 ganger.
Poengberegning:
Anonym: 1 poeng. Riktig svar på a), galt på b). Jeg likte den alternative løsningen. :) Legg igjen navnet ditt og gjør krav på poenget, så skal jeg legge det til på sammenlagtlisten.
Sverre: Riktig, 2 poeng. 56 liter går opp i begge bøttene uten rest.
Esquil: Riktig, 2 poeng.
Elin Helen: Riktig, 2 poeng. Du tenkte først motsatt, det mangler 2 liter på at det store spannet er fullt - altså 12 liter i bøtta. Logikk er minst like bra som formler, og rammes ikke av sviktende hukommelse. :)
Per Arve: Riktig, 2 poeng.
Trond: Riktig, 2 poeng.
Hilde: Riktig, 2 poeng.
Line: Riktig, 2 poeng. Kult at du fant palindrom. :)
Christian: Riktig, 2 poeng. Likte tankemåten din med å telle avvik.
Olaf: Riktig, 2 poeng. Imponerende å regne om mellom ulike tallbaser, omtrent like meningsløst som å fylle bøtter med vann fra et basseng... Men du fant jo riktig svar. :)
Circus Ingvardo: Riktig, 2 poeng.
Andreas og Liv Marit: Riktig, 2 poeng.
Harald: Riktig, 2 poeng. Fint system du fant med 7-spannssyklusen og resten etter de første fem fyllingene.
Legg inn en kommentar